مسیر محاسبه سود اسناد خزانه

مقدمه كیفیت سرمایه‌گذاری به عوامل متعددی وابسته است و شاخص‌های متفاوتی به منظور ارزیابی عملكرد سرمایه‌گذاری تعریف شده‌‌‌‌اند. به‌عنوان مثال می‌توان به شاخص‌های ریسك، بازده، نقدشوندگی، تنوع و بتا اشاره كرد. در میان شاخص‌های نامبرده، بازده از اهمیت بسزایی برخوردار است. زیرا بازده در ادبیات روزمره مردم بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد و معمولا فرصت‌های مختلف سرمایه‌گذاری را بر مبنای مقایسه مقدار بازده آنها با یكدیگر مورد سنجش قرار می‌دهند.

در حوزه سرمایه‌گذاری و به‌طور ویژه در حوزه اوراق بهادار بادرآمد ثابت (Fixed Income Securities)، از آنجا كه در ایران، بیشتر اوراق دارای ضامن بانكی هستند و در نتیجه ریسك نكول یا عدم پرداخت آنها در سررسیدها به‌طور كامل پوشش داده شده است؛ بازده، مهم‌ترین‌ معیار برای انتخاب اوراق توسط یك سرمایه‌گذار است.

با توجه به اینكه «مثال» نقش بسزایی در انتقال مطلب ایفا می‌كند، در این مقاله تلاش شده تا همه موضوعات تا حد امكان در قالب مثال‌هایی ارائه شوند.

  بازده ساده

روش‌های متفاوتی برای محاسبه بازده وجود دارد. ساده‌ترین روش، استفاده از فرمول بازده ساده است. همان‌طور كه در فرمول زیر مشاهده می‌شود، اختلاف قیمت خرید و فروش نسبت به قیمت خرید سنجیده می‌شود:

شخصی را در نظر بگیرید كه در ابتدای سال در اوراقی با ارزش اولیه 100 تومان سرمایه‌گذاری كرده است. چنانچه ارزش این سرمایه‌گذاری در پایان سال اول 110تومان و در پایان سال دوم 132 تومان ‌باشد، طبق فرمول فوق به سادگی می‌توان بازده وی را در هر دوره محاسبه كرد.

اگر كمی به این مثال دقت كنیم متوجه می‌شویم كه مجموع بازده دو دوره متوالی فوق، 30 درصد به‌دست می‌آید اما از طرف دیگر به نظر می‌رسد با توجه به رشد قیمت از 100 به 132 واحد، بازده كل دوره باید رقم 32 درصد باشد!

علت این موضوع، این است كه مقدار دارایی در اول هر دوره برابر مقدار دارایی در پایان دوره قبل است و بنابراین اصل و سود دارایی در پایان هر دوره وارد دوره بعد می‌شود و به اصل و سود منتقل­‌شده از دوره قبل مجددا سود تعلق می‌گیرد.

این ماهیت فرمول بازده است، زیرا مثلا در نمونه فوق و در ابتدای دوره دوم نمی‌توانیم مقدار 110 واحد را به دو رقم 100 به‌عنوان اصل مبلغ و 10 واحد به‌عنوان سود دوره قبل، تجزیه کنیم و كل مبلغ 110 واحد به‌عنوان مقدار اولیه سرمایه‌گذاری وارد دوره دوم می‌شود.

 اما موضوع فوق به معنای وجود اشكال در محاسبه بازده نیست! زیرا بازده صحیح هریك از دوره‌های فوق به ترتیب 10 درصد و 20 درصد است، اما بازده كل دوره رقم 30 درصد نیست و مقدار صحیح بازده كل دوره 32 درصد است.

در ادبیات مالی، برای محاسبه برآیند بازده كل دو یا چند دوره متوالی از فرمول تركیب بازده یا بازده مركب (Compound Return) استفاده می‌شود.

با استفاده از فرمول فوق می‌توانیم به بازده كل دوره در مثال قبل دست یابیم:

مساله فوق كه در ادبیات مالی بسیار حائز اهمیت است به این نكته اشاره دارد كه جمع جبری بازده، برای محاسبه بازده كل چند دوره متوالی صحیح نیست و برای محاسبه برآیند بازده چند دوره متوالی باید از تركیب بازده و فرمول بازده مركب استفاده کرد.

دو ورقه بهادار در دست داریم كه قیمت هر دو ورقه در ابتدای سال 100 واحد و در پایان سال نیز قیمت آنها به 120 واحد خواهد رسید. آن طور كه از صورت سوال‌ قابل درك است، بازده هر دو ورقه 20 درصد است. در جدول زیر با توجه به قیمت ماه ششم، بازده دو دوره محاسبه شده است:

مثال فوق، به خوبی نشان می‌دهد كه جمع جبری نه تنها بازدهی متفاوت با مقدار واقعی بازده كل دوره (20 درصد) به دست می‌دهد، بلكه مقدار آن به نوسان قیمت‌های طی دوره نیز وابسته است.

اگر مقدار بازده اوراقی مشخص باشد، چگونه می‌توانیم قیمت آن را در زمان‌های مختلف محاسبه كنیم و فرمول صحیح قیمت‌گذاری اوراق با درآمد ثابت (Fixed Income Pricing) چگونه باید باشد؟ هدف از ارائه این بخش در این مقاله، تاكید بر محاسبات سود مركب و بیان نقایص محاسبات سود بر مبنای فرمول‌های ساده و خطی است.

اوراقی با قیمت اسمی 1،000،000ریال و نرخ سود 20 درصد كه یك بار در سال سود پرداخت می‌كند را در نظر بگیرید.

این اوراق دارای سود روزشماری خواهد بود. یك راه ساده برای محاسبه سود روزشمار این اوراق، تقسیم سود سالانه بر تعداد روزهای سال است:

بنابراین جدول شماره 1 سود روزشمار و قیمت این اوراق به همراه نرخ رشد قیمت اوراق در روزهای مختلف سال به ترتیب زیر به‌دست خواهد آمد:

روش فوق كه به روش خطی ساده معروف است، باوجود سادگی محاسبات، یك ایراد اساسی دارد و آن عدم ثبات نرخ رشد قیمت در طول سال، به‌رغم ثابت بودن مقدار سود روزانه است! اگر به ستون نرخ رشد قیمت روزانه دقت شود، كاهش تدریجی نرخ رشد روزانه به وضوح مشاهده می‌شود.

سوالی كه در اینجا مطرح می‌شود این است كه چرا این بازدهی طی سال ثابت نبوده و به تدریج كاهش یافته است؟

علت كاهش تدریجی نرخ رشد روزانه، افزایش مخرج كسر بازده است. زیرا با گذشت زمان و تجمیع سودهای روزشمار، قیمت اوراق به تدریج افزایش یافته و مخرج كسر بازده بزرگ‌تر می‌شود و در نتیجه مقدار بازده یا نرخ رشد روزانه كاهش می‌یابد.

بازدهی شخصی كه در روزهای اول سال در این اوراق سرمایه‌گذاری می‌كند بیشتر از فردی است كه در روزهای پایانی سال این اوراق را نگهداری می‌كند. زیرا مبلغ سرمایه‌گذاری در این ایام متفاوت است، كسب عایدی ثابت 548 ریال در روز اول نسبت به مبلغ سرمایه‌گذاری 1.000.000 ریال و در روز دوم با مبلغ 1.000.548 ریال سنجیده می‌شود. با رشد تدریجی قیمت، مخرج كسر بازده افزایش می‌یابد، این در حالی است كه صورت كسر رقم ثابت 548 ریال است؛ بنابراین طبیعی است كه مقدار بازده روزانه كاهش یابد. استفاده از روشی كه در آن مقدار سود در طول دوره ثابت فرض شده باشد، نمی‌تواند روش صحیحی برای قیمت‌گذاری اوراق با درآمد ثابت باشد، زیرا نرخ بازده آن در طول دوره یكنواخت نبوده و به تدریج و با گذشت زمان، كاهش خواهد

یافت.

چنانچه قیمت‌گذاری در بازار به این شیوه انجام شود، سرمایه‌گذاران آگاه تلاش می‌كنند تا اوراق را صرفا در روزهای ابتدایی هر دوره خریداری كرده و در اواسط دوره و قبل از كاهش نرخ بازده، آن را با اوراق دیگری تعویض کنند.

مثال فوق به‌خوبی به ما نشان می‌دهد كه:

روش خطي ساده، روش مناسبي براي قيمت‌گذاري اوراق و محاسبه سود روزشمار نيست. زيرا سرمايه‌گذار انتظار دارد در صورت ثبات شرايط و ثابت بودن نرخ سود، بازده وي در طول دوره سرمايه‌گذاري ثابت باشد. به عبارت ديگر مستقل از اينكه در روز اول در اين اوراق سرمايه‌گذاري شود يا در روز آخر، بازده به دست آمده بايد مقدار ثابتي باشد.

اما سوالی كه مطرح می‌شود این است كه در این مثال، قیمت روزانه اوراق، چه رقمی است تا نرخ بازده در تمام روزهای سال برابر باشد؟

فرمول قیمت‌گذاری مركب، ما را به این هدف می‌رساند. این فرمول به شرح زیر است:

با استفاده از فرمول قیمت‌گذاری مركب، قیمت روزانه را محاسبه می‌كنیم. برای مثال قیمت این اوراق در پایان روز اول برابر خواهد بود با:

چنانچه مثال قبل را با فرمول قیمت‌گذاری مركب، قیمت‌گذاری كنیم به جدول 2 خواهیم رسید:

همان‌گونه كه در جدول 2 مشخص است، در این مدل قیمت‌گذاری، نرخ رشد روزانه در تمام طول سال ثابت است اما مقدار سود روزانه به‌صورت تدریجی افزایش یافته است و با توجه به رشد تدریجی قیمت، افزایش تدریجی مقدار سود روزانه نیز كاملا طبیعی و در حد انتظار است.

همان‌طور كه در این جدول نیز مشاهده می‌شود، با استفاده از روش قیمت‌گذاری مركب، قیمت‌ها به نحوی تعیین می‌شوند تا بازده سرمایه‌گذاری در تمام طول عمر اوراق به‌صورت همگن تخصیص یابد.

بنابراین فرمول قیمت‌گذاری مركب تضمین می‌كند كه قیمت‌های روزانه به نحوی محاسبه خواهند شد كه نرخ رشد روزانه در طول دوره ثابت بماند. این موضوع در بازارهای مالی از اهمیت بسزایی برخوردار است زیرا سرمایه‌گذاران مختلف مستقل از تاریخ انتشار، تاریخ سررسید یا تاریخ پرداخت كوپن سود، بر مبنای نرخ بازده (و ریسك) اوراق، اقدام به انتخاب و سرمایه‌گذاری در اوراق می‌كنند و مدل قیمت‌گذاری باید به نحوی باشد كه ثبات نرخ سود طی دوره را تضمین کند، به گونه‌ای كه نرخ سود همواره همگن باشد.

البته همان‌طور كه می‌دانیم، قیمت اوراق بهادار در بازارهای مالی، علاوه بر نرخ سود اسمی، به دو عامل مهم دیگر هم وابسته هستند: نرخ سود مورد انتظار بازار و میزان ریسك اوراق و ناشر آن. محاسبات فوق، با فرض ثبات شرایط و یكسان بودن نرخ سود اسمی اوراق و نرخ سود مورد انتظار بازار انجام شده است. در شرایطی كه پارامترهای فوق نیز وارد محاسبات شوند، می‌توان ثابت كرد كه مدل قیمت‌گذاری اوراق تغییر نخواهد كرد و همین فرمول قیمت‌گذاری مركب، صرفا با تغییر مقدار R (نرخ بازده سالانه) مجددا به‌كار گرفته خواهد شد.

در بازارهای مالی، نرخ سود مورد انتظار به‌عنوان یك متغیر كلیدی در جریان معاملات روزانه و با توجه به قیمت انواع اوراق بهادار كشف می‌شود. نرخ بازده تا سررسید، نرخی است كه در صورت نگهداری اوراق تا زمان سررسید، برای دارنده آن محقق خواهد شد. با توجه به تفاوت فاصله تا سررسید اوراق مختلف و به منظور مقایسه این نرخ در مورد اوراق مختلف، این نرخ به‌صورت سالانه محاسبه شده و اعلام می‌شود.  از آنجا كه تاریخ سررسید اوراق و همچنین مبلغ قابل پرداخت در سررسید هر اوراقی ثابت است، بنابراین، نرخ بازده تا سررسید تنها تابع قیمت روز اوراق در بازار خواهد بود و هیچ مؤلفه دیگری در آن تاثیرگذار نخواهد بود. به همین دلیل این نرخ در بازارهای مالی محاسبه شده و به‌صورت عمومی کنش داده می‌شوند. بر خلاف بازده دوره نگهداری (HPR: Holding Period Return) كه شاخصی گذشته‌نگر است و نرخ بازده را در گذشته نشان می‌دهد،

YTM‌ (Yield To Maturity) شاخصی آینده‌نگر است.

اوراقی را كه مبلغ اسمی آن 1.000.000 ریال و دارای سود سالانه 20 درصد است و كل سود نیز در پایان سال به سرمایه‌گذار پرداخت می‌شود در نظر بگیرید. در اواسط سال ( در روز صدوهشتادویکم) و در زمانی كه 184 روز تا سررسید آن باقی مانده است، قیمت این اوراق 1.094.625 ریال خواهد بود. نرخ بازده تا سررسید این اوراق در روز صدوهشتادویکم چقدر است؟

بازده این اوراق تا سررسید برابر خواهد بود با:

برای سالانه كردن این بازده، می‌توان از فرمول ساده زیر استفاده كرد:

اگر با استفاده از فرمول فوق، نرخ بازده تا سررسید را به‌صورت سالانه محاسبه كنیم، خواهیم داشت:

اما چرا نرخ بازده تا سررسید رقم متفاوتی نسبت به نرخ سالانه 20 درصد به‌دست آمد؟

قبل از پاسخ به این سوال‌، اجازه دهید با استفاده از همین فرمول و برای تمام روزهای سال و مطابق قیمت روزانه محاسبه شده در جدول 2 نرخ بازده تا سررسید را در جدول شماره 3 محاسبه کنیم:

در كمال تعجب مشاهده‌ می‌كنیم، باوجود ثبات نرخ رشد روزانه، نرخ بازده تا سررسید ثابت نبوده و با نزدیك شدن به سررسید به تدریج كاهش یافته است. فرمول نرخ بازده تا سررسید سالانه ساده، فقط در روز اول دوره یكساله، رقم صحیح 20 درصد را به‌دست خواهد داد و در بقیه ایام سال به تدریج كاهش خواهد یافت و در فاصله یك روز تا سررسید، رقم 24/ 18 درصد را به‌دست خواهد داد!

برای رفع این مساله، از فرمول مركب نرخ بازده تا سررسید استفاده می‌كنیم:

حال چنانچه با این فرمول، نسبت به محاسبه بازده تا سررسید اوراق در روزهای مختلف سال اقدام كنیم، نتایج جدول شماره 4 به دست خواهد آمد.

همان‌طور كه در جدول شماره 4 مشاهده می‌شود، نرخ بازده تا سررسید با فرمول مركب در طول سال ثابت بوده و همواره رقم 20درصد كه نرخ سود سالانه اوراق بوده است را نشان می‌دهد.

در كتب مالی، فرمول تقریبی زیر نیز برای محاسبه بازده تا سررسید سالانه ارائه شده است:

فرمول فوق در حقیقت همان فرمول بازده تا سررسید ساده است، كه پیش‌تر ارائه شد، برخی بورس‌های دنیا نیز از این فرمول برای محاسبه بازده تا سررسید استفاده می‌كنند. فرمول فوق، یك تناسب ساده ریاضی است. اما علت استفاده از این فرمول چیست؟

یكی از دلایل استفاده از فرمول بازده تا سررسید ساده، سادگی محاسبات و استفاده از یك تناسب ساده به جای استفاده از فرمول‌های توان‌دار است.

اما یك دلیل مهم تر این است كه از نظر ریاضی می‌توان نشان داد،اگر %5 >r باشد، حداكثر خطای فرمول تقریبی فوق برای دوره زمانی كمتر از یك سال، كمتر از 12/ 0 درصد ( معادل 0012/ 0) خواهد بود؛ بنابراین نتیجه آن با تقریب خوبی قابل قبول خواهد بود.

اگر فاصله تا سررسید دقیقا یك سال باشد، (t=365) هر دو فرمول عدد یكسانی را نشان می‌دهند، اما اگر فاصله تا سررسید، كمتر یا بیشتر از یك سال باشد، نتایج این دو فرمول از هم فاصله خواهند گرفت.

در جداول زیر مقادیر مختلف بازده در قیمت‌های مختلف و در دو حالت فاصله تاسررسید 60 و 180 روزه نشان داده شده است.

همان‌گونه كه در جداول فوق مشاهده می‌شود، در نرخ‌های بالا، تفاوت نرخ YTM و نرخ بازده تا سررسید تقریبی به تدریج زیاد می‌شود.

 بنابراین در كشورهایی مانند ایران كه نرخ سود بسیار بالاتر از 5 درصد قرار دارد، استفاده از فرمول نرخ بازده تا سررسید مركب پیشنهاد می‌شود.